Palestra - O conjunto de Mandelbrot e suas cópias

Idioma
  • Português
Data e horário
  • Sex, 31 Jul. 11:00 - 12:00 (UTC-3)
Palestrante
  • Luna Lomonaco - IMPA

O conjunto de Mandelbrot M é um fractal que classifica o comportamento dos polinômios quadráticos \(P_c(z)=z^2+c\). Embora sua definição seja notavelmente simples: \[M=\{c \in \mathbb{C}\,\,|\,\,P_c(0) \not \rightarrow \infty \mbox{ quando } n \rightarrow \infty \}, \] ele é um objeto central na dinâmica complexa, e tem sido encantador e intrigante, desde que foi definido e desenhado pela primeira vez. Um fato interessante é a presença de conjuntos de Mandelbrot `bebês' no próprio conjunto de Mandelbrot (e em muitos outros planos de parâmetro). Existem dois tipos diferentes de pequenas cópias do conjunto de Mandelbrot dentro do próprio conjunto de Mandelbrot: As cópias primitivas, que sâo visualmente idênticas ao conjunto de Mandelbrot e tem uma cúspide, e as cópias satélites, que parecem versôes suaves do conjunto de Mandelbrot, e nâo tem uma cúspide. As cópias primitivas do conjunto de Mandelbrot tem geometria parecida ao conjunto de Mandelbrot (i.e., sâo quaseconformemente homeomorfas ao próprio Mandelbrot). Embora seja claro que o mesmo nâo possa acontecer com as cópias satélites (por falta da cúspide: nâo se pode endireitar uma cúspide quaseconformemente), tem sido crença geral de que as cópias satélite do conjunto de Mandelbrot tinham geometria parecida entre elas (i.e., que sâo mutuamente quaseconformemente homeomorfa). Em um trabalho com C. Petersen, contestamos essa expectativa.